Всего: 20 1–20
Добавить в вариант
Три равных шара радиусом 1 лежат на одной плоскости и попарно касаются друг друга. Конус с углом 60° в вершине осевого сечения стоит основанием на той же плоскости и касается боковой поверхности каждого шара. Найти радиус основания конуса.
то точка O1 лежит на биссектрисе угла ACB, откуда 
На ребре AA1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 взята точка T такая, что
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что BB1 = 5. Найдите объём конуса.
равны между собой. Заметим, что 
и 
Из этих неравенств следует, что отрезки TB и TC самые длинные, а отрезок 
—
и 
Тогда 
По теореме Пифагора для треугольника 
находим, что 
Значит, искомое отношение равно 
по теореме Пифагора получаем, что 
Радиус основания конуса - это радиус окружности, описанной около треугольника 
Ero стороны: 
Тогда высота конуса 
окончательно получаем 
б) 
На ребре BB1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 взята точка T такая, что BT : B1T = 2 : 5. Точка T является вершиной прямого кругового конуса такого, что три вершины призмы принадлежат окружности его основания.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что CC1 = 7. Найдите объём конуса.
Из этих неравенств следует, что отрезки 
Тогда 
По теореме Пифагора для треугольника 
находим, что 
Значит, искомое отношение равно 
по теореме Пифагора получаем, что 
Радиус основания конуса - это радиус окружности, описанной около треугольника 
Его стороны: 
и 
Тогда находим его высоту: 
Три одинаковых конуса с вершиной A касаются друг друга внешним образом. Каждый из них касается внутренним образом четвертого конуса с вершиной в точке A и углом при вершине 
Найдите угол при вершине у одинаковых конусов. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
и, значит, эти точки лежат на некотором шаре с центром O радиуса R, вписанном в четвертый конус. Этот шар касается шаров, вписанных в одинаковые конусы (так как, например, шары с центрами в O и O1 касаются в точке B плоскости, содержащей образующую AB и касающейся четвертого конуса). Поэтому точки O1, O2, O3 лежат на отрезках OB, OC, OD соответственно. Тогда 
Значит, прямая AO проходит через центр H описанной окружности треугольника O1O2O3 перпендикулярно к его плоскости. Заметим, что этот треугольник правильный и 
откуда 
С другой стороны, 
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Радиусы их оснований равны 1, 4 и 4, углы при 
и 
соответственно (углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении). На стол положили шар, касающийся всех конусов. Найдите радиус шара.
точка касания шара со столом, 2α и 2β — углы при вершине первого и второго конусов. На верхнем рисунке показано сечение первого конуса плоскостью COO1, Касание шара с первым конусом означает, что перпендикуляр OE, опущенный из точки O на образующую PB, равен R. Действительно, в этом случае шар и конус касаются плоскости, проходящей через образующую PB перпендикулярно сечению, и лежат по разные стороны от нее. Поэтому шар касается прямых BC и BE в точках C и E, откуда 
и
и 
или 
Необходимо, чтобы шар касался образующих конусов, а не их продолжений за вершину. Это означает, что 
и 
Первое условие эквивалентно 
Второе условие приводится к неравенству 
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Радиусы их оснований равны 32, 48 и 48, углы при вершине — 
и 
соответственно (углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении). Над столом подвесили шар, касающийся всех конусов. Оказалось, что центр шара равноудален от центров оснований всех конусов. Найдите радиус шара.
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Высоты у конусов одинаковые, а радиусы их оснований
и 
треугольник O1O2O3 является прямоугольным. В силу условия точка C равноудалена от точек касания оснований конусов. Тогда C лежит на пересечении биссектрис треугольника O1O2O3 и, значит, является центром его вписанной окружности, радиус которой равен 1. Вычисляя 
и 
двумя способами, мы получим 
B силу равенства высот конусов справедливо соотношение 
Поэтому 
Исключая 
мы получим 
откуда 
и 
Заметим, что 
и по теореме Пифагора 
На столе лежат шары радиусов 2, 2, 1, касаясь друг друга внешним образом. Вершина конуса находится посередине между точками касания одинаковых шаров со столом, а сам конус касается внешним образом всех шаров. Найдите угол при вершине конуса. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
и 
Из условия касания шаров 
и
откуда 
попадает на отрезок O1O2 (см. верхний рисунок). Образующие, по которым конус касается одинаковых шаров, лежат в плоскостях KCO1 и KCO2, откуда 
Отметим несколько простых фактов. 
Так как отрезок KH перпендикулярен стороне O1O2, мы получим 
На столе лежат два шара радиусов 4 и 1 с центрами O1 и O2, касаясь друг друг внешним образом. Конус касается боковой поверхностью стола и обоих шаров (внешним образом). Вершина C конуса находится на отрезке, соединяющем точки касания шаров со столом. Известно, что лучи CO1 и CO2 образуют равные углы со столом. Найдите угол при вершине конуса. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
Заметим, что точки O1, O2, A1, A2, C лежат в одной плоскости, поскольку O1A1 и O2A2 параллельны, а C принадлежит отрезку A1A2. Тогда 
Отметим несколько простых фактов. 
откуда 
и из 3) вытекает, что 
Поэтому 
Два шара касаются внешним образом друг друга и всех конусов. Найдите отношения радиусов шаров (большего к меньшему).
Этот угол одинаков для всех конусов, поскольку 
Значит, луч OP образует угол 
с осями симметрии всех конусов. Аналогично доказывается, что на этом луче лежит и точка Q
Поэтому 
мы получим 
откуда 
и 
Тогда 
Четыре конуса с общей вершиной попарно касаются друг друга внешним образом. Первые два и последние два конуса имеют одинаковый угол при вершине. Найдите максимальный угол между осями симметрии первого и третьего конусов. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
П. Поскольку 
и 
Аналогично проверяется, что луч OC лежит в П.
Заметим, что плоскость AOH перпендикулярна BOH и 
так как первый и третий конусы касаются друг друга. Используя для пирамиды ОВBH формулу трех косинусов, мы получим 
или 
Кроме того, четвертый конус касается первых двух. Тогда 
и 
и 
Равенство реализуется в случае 
Три конуса с общей вершиной O касаются друг друга внешним образом. Первые два конуса имеют угол при вершине 
ось симметрии третьего конус перпендикулярна осям симметрии первых двух. Еще один конус с вершиной O касается внешним образом трех других. Найдите его угол при вершине. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
2β 
Аналогично проверяется, что луч OC лежит в П.
Заметим, что плоскость AOH перпендикулярна COH и 
так как первый и четвертый конусы касаются друг друга. Используя для пирамиды OACH формулу трех косинусов, мы получим 
Кроме того, 
поскольку третий и четвертый конус касаются друг друга. Тогда по формуле трех косинусов для пирамиды ОABH:
откуда 
то есть 
—
—
Тогда 
и
это уравнение имеет два решения 
Значит, возможны два случая, в одном из которых объём шара равен 
или 
Изобразим осевое сечение цилиндра, вписанного в конус. Обозначим высоту цилиндра h, a радиус основания цилиндра r.
S(r) возрастает; при 
S(r) убывает, значит, 
см2.
Площадь боковой поверхности конуса известна: 
Отсюда 
то есть 
то 
V(r) возрастает; 
то 
V(r) убывает, значит, 
Развертка боковой поверхности усеченного конуса с образующей, равной 12, представляет собой часть кругового кольца с центральным углом 
Найдите радиусы оснований этого усеченного конуса, если площадь его поверхности равна площади полного кругового кольца.
— длина образующей, x — длина продолжения образующей до целого конуса, 
—
откуда 
Равенство данных в условии площадей дает уравнение 
и учитывая то, что 
получаем 
и 
и из 
то есть 
Так как 
то 
и 
и 
Три конуса с вершиной A касаются друг друга внешним образом, причем первые два из них одинаковы, а у третьего угол при вершине равен 
Каждый из конусов касается внутренним образом четвертого конуса с вершиной в точке A и углом при вершине 
Найдите угол при вершине у первых двух конусов. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
и 
Впишем в первые три конуса пары с центрами O1, O2, O3, касающиеся друг друга. Касательные, проведенные из А ко всем шарам, имеют одинаковую длину, поскольку любая пара шаров имеет общую касательную. Пусть четвертый конус касается этих шаров в точках B, C, D. Тогда 
Пусть H как медианы равнобедренных треугольников O1O2A, O1O2O и O1O2O3. Поэтому точки A, O3, O3 лежат в плоскости, проходящей через точку H перпендикулярно O1H. В частности, отрезки AO и AO3 перпендикулярны отрезку O1H. Значит, точки H и O1 имеют одинаковые проекции как на прямую АО, так и на прямую А3 (обозначим эти проекции через E и F соответственно). Отсюда 
как касательные к шару с центром в O1. Поэтому 
мы получим 
и из второго уравнения системы 
В сосуд, имеющий форму прямого кругового конуса, наливают воду. Если сосуд установлен «острым» концом вниз, то расстояние от уровня воды до плоскости основания конуса равно 1 м. Когда сосуд перевернули, оказалось, что расстояние от уровня воды до «острого» конца сосуда равно 
м.
Объем конуса может быть найден по формуле 
где S — площадь его основания, h — высота.
Water is poured into a vessel of the form of a straight circular cone. If the vessel is installed with the «sharp» end down then the distance from the water level to the base of the cone is 1 m. When the vessel was turned over, it turned out that the distance from the water level to the «sharp» end of the vessel is m.
The volume of a cone can be found by the formula 
where S is the area of its base and h is its height.
и радиусом основания 
(ввиду подобия осевых сечений конусов). После переворачивания вода заполняет усеченный конус высотой 
(здесь 
с радиусами оснований R и 
откуда 
Угол при вершине в осевом сечении конуса равен 60°. Снаружи этого конуса расположены 11 шаров радиуса 3, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.
расположены n шаров радиуса r, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуca. Oтвет в общем виде: 
где 
или 
